Змея в броуновской сфере

The snake in the Brownian sphere

February 18, 2025

Авторы: Omer Angel, Emmanuel Jacob, Brett Kolesnik, Grégory Miermont

cs.AI

Аннотация

Коричневый шар - это случайное метрическое пространство, гомеоморфное двумерной сфере, которое возникает как универсальный предельный масштаб многих типов случайных плоских карт. Прямое построение коричневого шара происходит через непрерывный аналог биекции Кори-Воклен-Шеффера (CVS). Биекция CVS отображает помеченные деревья на плоские карты, а непрерывная версия отображает непрерывное случайное дерево Олда с коричневыми метками (коричневая змея) на коричневый шар. В данной работе мы описываем обратное преобразование непрерывной биекции CVS, конструируя коричневую змею как измеримую функцию коричневого шара. Особое внимание требуется для работы с ориентацией коричневого шара.

English

The Brownian sphere is a random metric space, homeomorphic to the two-dimensional sphere, which arises as the universal scaling limit of many types of random planar maps. The direct construction of the Brownian sphere is via a continuous analogue of the Cori--Vauquelin--Schaeffer (CVS) bijection. The CVS bijection maps labeled trees to planar maps, and the continuous version maps Aldous' continuum random tree with Brownian labels (the Brownian snake) to the Brownian sphere. In this work, we describe the inverse of the continuous CVS bijection, by constructing the Brownian snake as a measurable function of the Brownian sphere. Special care is needed to work with the orientation of the Brownian sphere.